4个让人匪夷所思的数学真理——关于数学、真理和极限

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大多数在数学上准确的科学是反直觉。 (原创文章www.9y9y.com)

事实上,在数学中,我们经常会碰到如许的情形,即我们会推导出我们不完全懂得的器材。

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01No.1:欧拉恒等式

欧拉恒等式

这就是众所周知的欧拉恒等式。若是你问任何一个稍微熟悉数学研究的人,他们都邑认出它。对我来说,数学最有趣的处所在于发现我们并不完全懂得的器材。

超越数就是个中之一。我们发现它经常显现在我们经常使用的处所。要么是半衰期,要么是较量衡宇利率,要么是较量圆周长与直径之比。

有了0和1,以及-1的平方根的界说,加上独一性的一样正义,我们就能够构建整个数字系统。

我们所有的常识都在这个等式中。但我们不知道为什么。这有点像万有引力,因为牛顿知道有一个力感化在从树上掉下来的苹果上。然则,直到今天,我们仍然对它究竟是什么有争议。

斯坦福大学传授基思·德夫林谈到欧拉恒等式:

就像莎士比亚的十四行诗抓住了爱的素质,或许一幅画显现了人类形态的美,而不光仅是肤浅的,欧拉方程深入到存在的最深处。

哲学家、数学家、哈佛大学传授本杰明·皮尔斯也说过:

这“绝对是自相矛盾的,我们不克懂得它,我们不知道它意味着什么,但我们已经证实了它,是以我们知道它必然是真理。

这就是欧拉恒等式的焦点。事实上,它是好多数学的焦点。然则即使甩掉了整个逻辑脑筋和正确性,它也没有达到真正的真实寄义。

我们知道,他们以我们所知的高度正确的水平来注释实际。他们模拟了我们碰到的几乎所有器材。它们改善了社会绝大多数人的生活,而社会却不认可它。

它们是世界上看不见的真理。你不需要认识他们就能从他们给我们的器材中受益。

然则,若是有人问我,“为什么?”是欧拉恒等式,我不克敷陈你。

这就是有趣的处所。你有一个如斯壮大的方程,将数学中如斯多的元素关联在一路——并且如斯优雅——但我们并没有真正懂得它。

02No.2:超越数

还记得我们在欧拉恒等式中看到的e吗?它与好多事物都有关联,但让我们先从它的发现起头,然后再进入它的新鲜之处。

1683年,JacobBernoulli问了一个关于复利的问题:

一个账户从1美元起头,每年支出100%的利息。若是利息在岁尾贷记一次,那么岁尾时账户的价格为2美元。若是利息在一年内多次贷记会发生什么?

也就是说,若是你用最初的1美元,将利息(100%)分成你想要它支出的次数,会发生什么?

若是你想做两次,那么每6个月会发生50%的利息。也就是说,你将获得:

按100%利率较量一美元本金的复利公式。

n是初始1元复利的次数。换句话说,你将把100%的利息分成你想要的次数。

例如,在我们最初的情形下,每6个月,你会有:

对于伯努利来说,有趣的事情很快就酿成了若何对较大的n值进行求解:

对于n=12,获得2.613035美元。对于n=52,获得2.692597美元。对于n=365,获得2.714567美元。

然后,对于n无限大,将获得:

2.71828182845904523536028747135266249775724709369995……

无限大与数学之间有一种新鲜的关系。一方面,它使人类有能力更深入地视察世界的内部运作。另一方面,它回避了一个问题:“为什么?”。

另一个超越数同样经由无限的使用而显现:

个中C是周长,d是直径。

然则我们是怎么想到这个的呢?为什么外形是圆?圆究竟是什么?

从一个正方形起头,络续地增加边数。直到无限多,当边数为无限大时,π的值为:

3.14159……

所以,当你看一个圆的时候,你实际上是在看一个有无数条边的多边形。

若是我们对欧拉数好奇,我们会看到更多令人挠头的器材。

也就是说,

e^x的导数和积分

我们以伯努利的复合例子为例,把它推广到求幂。也就是说,我们把e看作是一个超越常数,它是指数函数的根蒂。即使作为一个函数,它在神秘的存在中也有一种巧妙的力量。指数函数的界说几乎是每小我都碰到过的。

我们后背会学到,若是对它求导,会获得:

更主要的是,指数函数的加快能力。

从指数函数中能够看出它们增进的有多快。速度和加快度是指数运算的焦点。

当我们求下面的导数:

我们要求出常数b使得ln(b)=1。我们的念头是找出常数,使增进率是本来的函数。这意味着,经由可验证的递归,增进率的速度也将是本来的函数。

这意味着原函数的导数的任何n次迭代或n次导数的n次迭代也将是原函数。再一次,我们回首了无限的概念。

常数e,是独一的比例常数为1的基,使得指数函数的导数以e为底等于它自己。

与其他指数函数分歧的是,它在各个范畴都有很多派生,有着同样令人疑心的注释和寄义。

为了看得更清楚:

e^x:沟通的究竟,分歧的方式

这里

我们的极限包含了伯努利方程和复利方程的初始问题(对于特别情形,x=1,究竟是e)

毫无疑问,这些特别的无理数e和π深刻懂得了世界的素质以及个中的物质和物体的行为。无论是在分布,声波,原子和亚原子行为,赌钱,生物,化学,物理。这一切都来自一个最初想要回覆一个简洁的复合问题的人:

关于复利的简洁图表,1000美元本金起头。

但在追求某种关闭和某种趋同的过程中,我们似乎仍存在不合。每解决一个问题,就会显现更多的问题。超验论也是如许发生的。

显现,但纷歧定能注释“为什么”。这些数字e和π是经由好奇心和人类意志力发现的。我要说的是,今天我们对这些数字的认识与以往一般多。

事实上,我们把这些都较量到十几万亿位。

e的近似值,维基百科

发现的汗青和试图懂得它的存在一般令人疑心。

03No.3:级数

对于上面的e,泰勒级数是:

e^x的泰勒级数

对于一样情形,e的1次方:

我们知道这个级数是收敛的,我们知道这个级数收敛于我们的超越常数e。

我们知道的另一个雷同的级数是和谐级数:

和谐级数

有趣的是,你会说这个器材会收敛。

前一百万项的和大约是14.8。

然则若是我们假设和谐级数收敛,那么我们能够如许假设

然则

是以

这是弗成能的。是以,我们知道级数是发散的。

然而在1914年,A.J.肯普纳揭橥了一篇名为《一个新鲜的收敛级数》的论文,证实了和谐级数

稍微点窜一下,实际上是收敛的。也就是去掉分母中含有“9”的值的和谐级数。

起先,肯普纳认为这个级数的上限应该在80以下。从那时起,进一步的细化显露这个级数收敛到略低于23的值,大约是22.92067。这是非常新鲜的,从发散的级数中删除一些元素,最终将使级数收敛。

然则,大多数三位数的分母值都包含“9”,这使得级数收敛的速度几乎不敷快。

但这显然回避了一个问题:你能从和谐级数中删除的最小元素数量是几多才能使它收敛?

04No.4:所有天然数之和

若是你用较量器,起头加1+2+3+4+5,一向加下去,一直止,你会认为你会获得一个非常大的正数。

让我敷陈你一些完全违反直觉的事情:

也就是说,若是你把天然数相加,1+2+3+4+5+…你会获得:

首先,我们需要一些对象

我们从第三个和起头,N_2。若是我们将此和住手在偶数点,则从对称性上我们知道该和为0。若是在奇数点住手较量,究竟是1。我们先取平均值,而不考虑它的数学道理。总和是1/2!

如今我们看一下N_1。具体来说,我们把总和乘以2。

如你所见,我们获得:

你知道吗,本来的和,N,在括号里!

N-N_1=4(N)。

所以N_1=1/4。

所以我们要做的就是从一边减去N,如今我们有:

-1/4=3N。N=-1/12

这个究竟的独一增补就是无限级数实际上是发散的。同时,我的最终究竟依靠于其他级数的部门和。然则,若是你问我“为什么?”,我照样不克敷陈你。

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